Всенародную популярность Андрею Васильевичу принесла кинокартина "Ирония судьбы, или С лёгким паром!". Он сыграл главную роль – Женю Лукашина. Фильм вышел в прокат в 1976 году, Андрею Мягкову практически сразу присудили Госпремию СССР. Сам он свою роль воспринимал с юмором, но отмечал, что она "поставила крест на карьере", так как, по словам актера, все стали считать его алкоголиком.
Лирическая комедия "Служебный роман" явилась новым витком в становлении артиста. Андрей Мягков сыграл роль Анатолия Новосельцева, старшего статистика учреждения, мечтающего о повышении. Эта роль покорила все сердца: робкий, добрый и крайне рассеянный Новосельцев, впоследствии влюбившийся в свою начальницу Людмилу Прокофьевну Калугину, не оставил равнодушным даже самого строгого зрителя.
В легендарной картине "Гараж" Андрей Мягков сыграл роль Семена Александровича Хвостова. Неожиданно для зрителей, артист перевоплотился в лаборанта, который потерял голос. "Многоликий Вы наш!" – говорит о нем председатель гаражного кооператива Сидорин, герой Валентина Гафта.
Роль Юлия Капитоновича Карандышева в "Жестоком романсе" некоторые поклонники творчества артиста сравнивают с персонажем Анатолия Новосельцева. Юлий Капитонович – жених главной героини Ларисы, бедный мелкий чиновник, который невероятно увлечен собой и своей избранницей.
Фильм "Гонки по вертикали" – своего рода психологическая дуэль между честным инспектором МУРа Станиславом Тихоновым, которого и сыграл Андрей Васильевич, и обаятельным вором-рецидивистом по кличке Батон. Герой Мягкова запомнился многим как образец справедливого, но достаточно несчастного человека.
Вся страна помнит и любит Андрея Мягкова за роли Алексея Васильевича Турбина в "Дни Турбиных", профессора Нэли в "Человек, который брал интервью" и многие другие.