Детство Виктора Борцова было непростым: его мама скончалась от склероза, а отец, чудом выбравшийся на свободу после репрессии, постоянно приводил в дом новых мачех. Однако мечту стать артистом мальчик не оставил и с первой попытки поступил в училище имени Щукина при Малом театре, где потом служил всю свою карьеру. А первую роль в кино актер получил в конце 60-х.
Легендарный фильм "Покровские ворота" Виктор Андреевич, как ни странно, не любил – этой картиной он насытился еще во время съемок. Однако именно роль Саввы Игнатьевича прилипла к актеру больше всех остальных, хотя и досталась ему случайно – благодаря второму режиссеру. Зато Борцов очень любил свою работу в "Гардемарины, вперед!", которая досталась ему не так легко – сначала ему хотели дать крошечную роль.
Артист был женат дважды, а со своей второй супругой Стеллой познакомился как раз тогда, когда был в браке с первой. Вторая встреча с будущей избранницей состоялась только спустя четыре года – в 1973 году пара поженилась. Стелла Сергеевна позволила мужу полностью окунуться в творчество, взяв на себя все домашние дела и даже покупку одежды для Виктора Андреевича. Супруги жили счастливо, но своих детей так и не завели – у Борцова была только одна дочь Ольга от первого брака, в которой он души не чаял.
За два года до смерти, в 2006 году, у Виктора Андреевича нашли рак кишечника. Однако жалел он лишь о том, что сыграл мало комедийных ролей, и выходил на сцену, пока у него хватало на это сил. В последнюю неделю жизни к артисту ежедневно приезжали врачи, однако от больницы он отказывался – считал, что супруга сможет ухаживать за ним намного лучше. В мае 2008 года жизнь любимого россиянами актера оборвалась.